Mecametria:
Geometría estructural aplicada en la arquitectura
La palabra Mecametria aun no existe oficialmente en el idioma español, es una aportacion del Dr Gerardo Oliva Salinas y pretende definir la union entre la geometria y la mecanica como una sola herramienta.
Geometrias
Conicas
Euclides y su escuela de geometria habian estado estudiando las relaciones entre distintas figuras curvas como circulo elipse parabola e hiperbola, llegando a la conclusion de que todas estas curvas provenian de una misma fuente, y esta es el cono, de ahí el nombre de conicas
CIRCUNFERENCIA
PARABOLA
HIPERBOLA
ELIPSE
En el año 350 aC Menaecmo (380 - 320 a. C.) escubre las conicas, y sus estudios lo llevan a la conclusion de que solo existen 3 curvas :
CIRCUNFERENCIA
PARABOLA
CATENARIA
(Y resultan ser estas las que mas inportan en lo que posteriormente seria conocido como el diseño estructural)
DEFINICION
MATEMATICA DE LAS CURVAS
CIRCUNFERENCIA: Es el lugar geometrico de todos los puntos situados de tal forma que equidistan de unpunto llamado centro.
PARABOLA (): Es el lugar geometrico de puntos situados sobre un plano cuyas distancias a un foco y a una recta fija (Directriz) es la misma.
EJEMPLO
Formulas de la parabola
X2 = 2py = 2( 7.2) y
P = x2 122
2y 2(10)
FP = PA
FP = (x-p/2)2 +Y2
PA = x + p/2
X + p/2 = (x-p/2)2 +Y2
Y2 = 2py
ELIPSE (Error): Es el conjunto de puntos (x,y), tales que la suma de las distancias de (x,y) a un par de puntos fijos (focos) es una constante.
HIPERBOLA (Exeso):Es el conjunto depuntos (x,y) en el plano, tales que la diferencia positiva entre las distancias de (x,y) a un par de puntos fijos distintos (focos) es igual a una constante.
Catenaria: Es la curva natural que se forma cuando un cuerpo esta en reposo sobre dos puntos, su nombre proviene de “cadena”, ya que la forma de esta curva es la misma que la de una cadena que esta suspendida por sus extremos.
Diferencias estructurales entre
la parabola y la catenaria
La Paraboola envia sus cargas sobre una La Catenaria transmite sus cargas a lo largo
recta horizontal que se encuentre entre de toda su curvatura y en direccion de los
extremos
los extremos (como puente colgante).
(como un arco o una boveda).
Superficies alabeadas
Son aquellas que no pueden ser desarrolladas, es decir son no desarrollables.
Dicho de otra manera no es posible colocar sobre un plano a estas superficies (no se pueden aplanar)
los 4 puntos de cada uno de los cuadrangulos en el plano alabeado estan en un mismo plano (solo si ambas curvas son parabolas) esto permite sacar plantillas
Paraboloide
Es la superficie que se genera al tener una parabola como directriz y otra parabola como generatriz.
Cualquiera de las parabolas puede ser generatriz o directriz, o incluso ambas parabolas pueden ser directriz y generatriz a la vez, o ser la misma parabola pero intersectada.
si tenemos un paraboloide compuesto de una parabola cuya ecuacion es:
y = x2 / 2p la grafica quedaria así
x
|
Y = (x2/2p)
|
1
|
0.069
|
2
|
0.277
|
3
|
0.555
|
4
|
0.625
|
5
|
1.736
|
6
|
2.5
|
7
|
3.402
|
8
|
4.444
|
9
|
5.625
|
10
|
6.9444
|
11
|
8.402
|
12
|
10
|
así definimos las coordenadas (x,y) de todos los puntos del arco,
pero… ¿ y su longitud? Esa la determinamos con la formula……
(nota: y = 10 p = 7.2 )
Despejamos:
¿Cuanto abre la siguiente parabola cuando y = -12 ?
X = ¿?
Si x2 = 2py
Entonces
x = raiz de 2py = raiz ( (2) (5.333) (12) ) = raiz 128 = 11.3137
recordemos que la abertura vale 2x entonces la abertura es = 22.6274
y la posicion del foco es: C = y/4 = -12/4 = -3
Paraboloide hiperbolico
Esta superficie es de doble curvatura gaussiana, y se optiene al curvar un plano de la siguiente manera:
En la figura se muestra la localizacion de la hiperbola y de la parabola que forman la superficie.
También se puede desarrollar un
CATENAROIDE HIPERBOLICO
sustitullendo la parabola por una catenaria.
LA CATENARIA Y EL CATENAROIDE
Gottfried Wilhelm Leibniz
Fue un gran matematico contemporaneo de Newton, estudio las curvas y desarrollo el calculo integral.
(Newton solo logro llegar hasta su famoso método de las fluxiones que no es otra cosa que la Derivada)
Paso gran parte de su tiempo investigando la Catenaria que es la curva que se forma al poner un cuerpo sostenido en dos de sus extremos, y soportando una carga constante en toda su longitud.
Logro demostrar que contrario a la creencia difundida entre los matematicos de la epoca, la Catenaria es una curva distinta de la Parabola, que su trabajo mecanico es distinto también y por ende también su ecuacion.
Como ya se menciono el trabajo mecanico de estas curvas es distinto: mientras la Parabola envia sus cargas a su lado recto, la Catenaria lo hace a sus extremos.
La diferencia entre sus ecuaciones es igual de grande, pues mientras que la ecuacion de la Parabola es de segundo grado, la de la Catenaria es solo de primer grado.
Elementos que componen
una Catenaria
Calculo de una Catenaria
Partimos de una Parabola semejante a la catenaria deseada:
Paso 3 :
Buscamos el valor de “c” donde los valores de las columnas de “y” parabolica y “y” hiperbolica coinciden
c
|
y = c + 6
|
y = c cosh (x/c) = c cosh (12/c)
|
1
|
7
|
81 377.39
|
12
|
18
|
18.5169
|
13
|
19
|
18.9430
|
12.5
|
18.5
|
18.7160
|
12.6
|
18.6
|
|
12.7
|
18.7
|
18.8038
|
12.88
|
18.88
|
18.8863
|
Y esto nos arroja que:
C = 12.88
Aplicamos la formula Y = c (cosh x/c -1)
x
|
y
|
0
|
12.88
|
1
|
|
2
|
|
3
|
|
4
|
|
5
|
|
6
|
|
7
|
|
8
|
|
9
|
|
10
|
|
11
|
|
12
|
|
Si despejamos los valores de ”x” desde -12 para obtener la curva completa, obtenemos los siguientes valores
(se despejaron valores desde -12 hasta 12 porque la catenaria tiene una extension de 24, y el origen esta al centro de la curva.
x
|
Y
|
c
|
-12
|
18.8863031
|
12.88
|
-11
|
17.8697413
|
12.88
|
-10
|
16.9609512
|
12.88
|
-9
|
16.1544519
|
12.88
|
-8
|
15.4453795
|
12.88
|
-7
|
14.8294575
|
12.88
|
-6
|
14.3029714
|
12.88
|
-5
|
13.862746
|
12.88
|
-4
|
13.5061262
|
12.88
|
-3
|
13.2309613
|
12.88
|
-2
|
13.0355918
|
12.88
|
-1
|
12.9188394
|
12.88
|
0
|
12.88
|
12.88
|
1
|
12.9188394
|
12.88
|
2
|
13.0355918
|
12.88
|
3
|
13.2309613
|
12.88
|
4
|
13.5061262
|
12.88
|
5
|
13.862746
|
12.88
|
6
|
14.3029714
|
12.88
|
7
|
14.8294575
|
12.88
|
8
|
15.4453795
|
12.88
|
9
|
16.1544519
|
12.88
|
10
|
16.9609512
|
12.88
|
11
|
17.8697413
|
12.88
|
12
|
18.8863031
|
12.88
|
Y la grafica de la catenaria nos quedaria así:
Calculo de un Catenaroide
Ya se dijo que el catenaroide es el cruce de dos catenarias, una de generatriz y la otra de directriz:
Flecha del catenaroide = F (seria la coordeneda z)
F= [(1/a) (cosh ax -1)] + [(1/b) (cosh by -1)]
Y = g (x2):
Y = (cosh-1) [ b (F – cosh ax -1 ) +1 ]
b a
